流入、流出の分析

学習確率の違いがサンクションの維持に思いのほか影響するらしいことがわかりましたので、そのメカニズムを少し調べてみました。

今回のモデルでは集団の中でＳＣがＮＣよりも大勢いると協力が維持されて高い利得が獲得できる一方で、ＳＣがＮＣよりも少ないとサンクションが不十分なため協力が維持されず、したがって利得が低いことが仮定されています（ただし、集団の中ではＮＣがＳＣよりサンクションコストを負担しない分だけ常に得）。

そこで　　　　　

　　ＳＣの人数≧ＮＣの人数の集団を「Ｃ状態の集団」
　　ＳＣの人数＜ＮＣの人数の集団を「Ｄ状態の集団」

と呼ぶことにして、「Ｃ状態の集団」が「Ｄ状態の集団」に学習や移住によって変わる確率と、「Ｄ状態の集団」が「Ｃ状態の集団」に変わる確率を求めてみました。前者をＣ状態からの流出率、後者をＣ状態への流入率と呼ぶことにすると、流入が流出より多い時にはＣ状態（協力が維持されている状態）が維持されやすいし、流入が流出より少ないときはＣ状態が維持されにくいと考えられます。

まず、学習確率を0.01に固定して集団間学習の割合を0.9～0.1まで変えて流入、流出率の変化をみると次のようになりました。

左のグラフのように集団間学習が減ると流出率がやや増える一方で、流入率が大きく減っています。Ｃ状態からＤ状態に変わるにはサンクションをかけていた人が集団内のサンクションをかけてない人をみて真似するとよいので、これは集団間学習の割合が減って集団内学習が増えると起こりやすくなります。

一方、Ｄ状態の集団がＣ状態に変わるには、サンクションをやめたために協力が維持されなくなった集団のＮＣが他のサンクションがまだ維持されている集団のＳＣをみてそれをまねする必要がありますので、集団間学習が減るとその分Ｃ状態には戻りにくくなります。このグラフでは流出と流入が逆転するのは集団間学習が0.5付近ですので、これを境にＣ状態が維持されにくくなったと解釈できます。

次に、集団間学習の割合を0.7に固定して学習確率を0.005～0.1まで変えてみたところ次のようになりました。

今度は学習確率があがっても流入率はあまり変わらないのに対し、流出率が大きく増えるという結果になっています。学習確率が上がるとＳＣがサンクションをかけないＮＣをみてＮＣになる確率が増すのでＣ状態からＤ状態への流出率が上がるのは理解できます。

同じ理屈でＤ状態からＣ状態に戻る流入率も上がりそうなものですが、こちらはそうでもありません。これはおそらく次のようなメカニズムになっているようです。つまり、Ｄ状態からＣ状態に戻れるのはＤ状態の中でもＳＣの割合が比較的ＮＣの割合に近い場合に限られます。学習確率が増すとこのケースからＣ状態に戻る確率が増しますが、集団内学習のスピードも速くなるためＳＣの割合が０に落ち込んでいく確率も増すことになります。この両方の効果がおそらく打ち消しあうために、Ｄ状態からＣ状態に戻る確率はほとんど変化しないのだと考えられます。

そんなわけで、このケースでは学習確率が0.05を上回ると流出が流入を上回るためにサンクションの効いたＣ状態は維持されにくくなっているのでしょう。

これはこれで納得のできる結果ですが、その一方このモデルは学習というものがあまり速く進むと協力は維持されにくくなることを示しています。インターネットの発達が進み情報の伝達が速くなるというのは結構なことではありますが、結構なことばかりではない可能性も考えられますね。