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2012年9月13日 (木)

どんぐりを巡る攻防3

どんぐりの価値が4、喧嘩になったときの闘争のコストが1の場合、Aがどんぐりを要求しBがそれを拒否して喧嘩になる状態が強いナッシュ均衡となることが分かりました。強いナッシュ均衡はたとえば試行錯誤によるダイナミクスを仮定したときに漸近安定になる状態ですので、A、B両者が試行錯誤して行動を修正していった場合、A要求、B拒否で必ず喧嘩になる状態に至って安定することが予想されます。

これは喧嘩になったときの闘争のコストが比較的小さい場合の結果ですが、闘争のコストがもっと大きい場合はどうなるのでしょうか。例えば闘争のコストを3、あとの条件は<その2>と同じ(どんぐりの価値は4、A、Bが勝つ確率は等しくて1/2ずつ)として考えてみましょう。

今度は喧嘩になったときのAの利得は
  4×1/2-3=-1
となり、Bの利得も
  4×1/2-3=-1
となります。喧嘩になると両者とも何もしないときよりも損をします。

このときゲームの木は

         要求    拒否
      A  →  B  →  (-1、-1)  
   非要求↓   受諾↓
      (0、4)   (4、0)

となります。また、利得表で書くと

   A \ B | 拒 否  受 諾
  ------------------
    要 求  |-1、-1 4、0
    非要求  | 0、4  0、4

となります。今度はAが要求をしてきたときにBは拒否すると利得は-1、受諾すると利得は0となりますのでAの言うことをきいてどんぐりを引き渡す方が得になります。Bが要求を受諾するのならAは要求した方がしないより得ですからAが要求してBが受諾する展開になると予想されます。

利得表をみるとA要求、B受諾の組み合わせは強いナッシュ均衡(手を変えると損をする手の組み合わせ)であることが分かります。闘争のコストが大きい場合はAの要求をBが受諾することで、どんぐりは奪われてしまうものの闘争は回避されることになりそうです。

ただこの利得表にはもう一つナッシュ均衡があります。探してみてください。そうですA非要求、B拒否もナッシュ均衡になるんですよね。Bが拒否することを察知してAが要求を差し控える状態と解釈できますが、この状態から手を変えることでどちらも得をすることはできません。Aの方は手を変えると損をします。Bの方は拒否を受諾に変えても得はしませんが損もしません。Bの方が損はしませんのでA非要求、B拒否の組み合わせは強いナッシュ均衡ではなく普通のナッシュ均衡(強くはないナッシュ均衡)であることが分かります。このように闘争のコストが大きいときは、Bが拒否することを見越してAが要求しない状態もナッシュ均衡になります。このときどんぐりはBのもとに留まり、現実の闘争は回避されることになるでしょう。

上の利得表に現れたナッシュ均衡はこの二つです。どんぐりはAかBかいずれかの手に帰する一方で、AかBかのいずれかが譲ることで喧嘩は回避されることが予想されます。これが喧嘩のコストが増加したことの効果です。コストの高い行動が回避されるというのは分かりやすい話ですが、どんぐりの行方も気になりますね。AかBのいずれがどんぐりを手にするのでしょうか。

試行錯誤によるダイナミクスを仮定して調べてみると、Bが0.8以上の確率で拒否するつもりでAがそれほどどんぐりを欲しがらない状態からゲームを始めると「A:非要求、B:0.8以上の確率で拒否」の状態に至って安定します(リャプノフ安定という余り強くない安定状態です)。上記以外の状態からゲームを始めると「A:要求、B:受諾」の状態に至って安定します(漸近安定という強い安定状態になります)。どちらになるかは初期状態次第ですが、どうもAの方に分がありそうな結果ではあります。

ちなみに闘争のコストがもっと増えて例えば6になったとすると、利得表は

   A \ B | 拒 否  受 諾
  ------------------
    要 求  |-4、-4 4、0
    非要求  | 0、4  0、4

となります。このときは、Bが0.5以上の確率で拒否するつもりでAがそれほどどんぐりを欲しがらない状態からゲームを始めると「A:非要求、B:0.5以上の確率で拒否」のリャプノフ安定に至り、それ以外の状況から始めると「A:要求、B:受諾」の漸近安定に至ります。A、Bの両者が強力な武器を持っていたりして喧嘩になったときのコストが増すと、Bに分のある均衡に至りやすくなるといえるでしょう。同じことはどんぐりの価値が2になった場合にも生じます。わずかな資源を巡って喧嘩の危険を冒すのはAにとっても割りにあわないと解釈できます。

このように闘争のコストが増すか、資源の価値が低い場合にはAがどんぐりの要求を思いとどまってBがどんぐりを保持し、闘争のコストが小さかったり、資源の価値が高いときにはAがどんぐりを要求してBが譲ったり、喧嘩になったりしやすいといえるでしょう。弥生時代に入って資源の主体がどんぐりから稲に移ると、資源の価値があがり闘争が発生しやすくなると予想できます。実際、弥生時代になると武器によって負傷した人骨が発見される割合が増えるようです。

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コメント

親切な説明のようですが、さっぱりわかりません。
くじょうさん。
今、ニュースになっている京大望月教授の「ABC予想」もわかってらっしゃるのでしょうね。

投稿: るんるん | 2012年9月19日 (水) 08時10分

わかりにくくて申し訳ありません。

ABC予想は整数論の最先端の論文なので、読んでもさっぱりわからないでしょうね。500ページの数学の論文というだけでもにわかに読めるものではないですし。

投稿: くじょう | 2012年9月19日 (水) 08時40分

質問です。
平成14~16年度 科学研究費補助金 秩序問題への進化ゲーム理論的アプローチ 学会等報告の中で、
未発表  ・・・・・・「サンクションの進化モデル」
とありますが、その後発表の機会はあったのでしょうか?

投稿: るんるん | 2012年9月19日 (水) 22時45分

2004年の第38回数理社会学会大会で報告しています。ずいぶん昔になりますね。『人間行動に潜むジレンマ』(化学同人 2007)の中で一般向けに書き直してますので、よければご参照ください。

投稿: くじょう | 2012年9月20日 (木) 09時39分

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