どんぐりを巡る攻防３

どんぐりの価値が４、喧嘩になったときの闘争のコストが１の場合、Ａがどんぐりを要求しＢがそれを拒否して喧嘩になる状態が強いナッシュ均衡となることが分かりました。強いナッシュ均衡はたとえば試行錯誤によるダイナミクスを仮定したときに漸近安定になる状態ですので、Ａ、Ｂ両者が試行錯誤して行動を修正していった場合、Ａ要求、Ｂ拒否で必ず喧嘩になる状態に至って安定することが予想されます。

これは喧嘩になったときの闘争のコストが比較的小さい場合の結果ですが、闘争のコストがもっと大きい場合はどうなるのでしょうか。例えば闘争のコストを３、あとの条件は＜その２＞と同じ（どんぐりの価値は４、Ａ、Ｂが勝つ確率は等しくて1/2ずつ）として考えてみましょう。

今度は喧嘩になったときのＡの利得は
　　４×1/2－３＝－１
となり、Ｂの利得も
　　４×1/2－３＝－１
となります。喧嘩になると両者とも何もしないときよりも損をします。

このときゲームの木は

　　　　　　　　　要求　　　　拒否
　　　　　　Ａ　　→　　Ｂ　　→　　（－１、－１）　　
　　　非要求↓　　　受諾↓
　　　　　　（０、４）　　　（４、０）

となります。また、利得表で書くと

　　　Ａ　＼　Ｂ　｜　拒　否　　受　諾
　　－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　　　要　求　　｜－１、－１　４、０
　　　　非要求　　｜　０、４　　０、４

となります。今度はＡが要求をしてきたときにＢは拒否すると利得は－１、受諾すると利得は０となりますのでＡの言うことをきいてどんぐりを引き渡す方が得になります。Ｂが要求を受諾するのならＡは要求した方がしないより得ですからＡが要求してＢが受諾する展開になると予想されます。

利得表をみるとＡ要求、Ｂ受諾の組み合わせは強いナッシュ均衡（手を変えると損をする手の組み合わせ）であることが分かります。闘争のコストが大きい場合はＡの要求をＢが受諾することで、どんぐりは奪われてしまうものの闘争は回避されることになりそうです。

ただこの利得表にはもう一つナッシュ均衡があります。探してみてください。そうですＡ非要求、Ｂ拒否もナッシュ均衡になるんですよね。Ｂが拒否することを察知してＡが要求を差し控える状態と解釈できますが、この状態から手を変えることでどちらも得をすることはできません。Ａの方は手を変えると損をします。Ｂの方は拒否を受諾に変えても得はしませんが損もしません。Ｂの方が損はしませんのでＡ非要求、Ｂ拒否の組み合わせは強いナッシュ均衡ではなく普通のナッシュ均衡（強くはないナッシュ均衡）であることが分かります。このように闘争のコストが大きいときは、Ｂが拒否することを見越してＡが要求しない状態もナッシュ均衡になります。このときどんぐりはＢのもとに留まり、現実の闘争は回避されることになるでしょう。

上の利得表に現れたナッシュ均衡はこの二つです。どんぐりはＡかＢかいずれかの手に帰する一方で、ＡかＢかのいずれかが譲ることで喧嘩は回避されることが予想されます。これが喧嘩のコストが増加したことの効果です。コストの高い行動が回避されるというのは分かりやすい話ですが、どんぐりの行方も気になりますね。ＡかＢのいずれがどんぐりを手にするのでしょうか。

試行錯誤によるダイナミクスを仮定して調べてみると、Ｂが0.8以上の確率で拒否するつもりでＡがそれほどどんぐりを欲しがらない状態からゲームを始めると「Ａ：非要求、Ｂ：0.8以上の確率で拒否」の状態に至って安定します（リャプノフ安定という余り強くない安定状態です）。上記以外の状態からゲームを始めると「Ａ：要求、Ｂ：受諾」の状態に至って安定します（漸近安定という強い安定状態になります）。どちらになるかは初期状態次第ですが、どうもＡの方に分がありそうな結果ではあります。

ちなみに闘争のコストがもっと増えて例えば６になったとすると、利得表は

　　　Ａ　＼　Ｂ　｜　拒　否　　受　諾
　　－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　　　要　求　　｜－４、－４　４、０
　　　　非要求　　｜　０、４　　０、４

となります。このときは、Ｂが0.5以上の確率で拒否するつもりでＡがそれほどどんぐりを欲しがらない状態からゲームを始めると「Ａ：非要求、Ｂ：0.5以上の確率で拒否」のリャプノフ安定に至り、それ以外の状況から始めると「Ａ：要求、Ｂ：受諾」の漸近安定に至ります。Ａ、Ｂの両者が強力な武器を持っていたりして喧嘩になったときのコストが増すと、Ｂに分のある均衡に至りやすくなるといえるでしょう。同じことはどんぐりの価値が２になった場合にも生じます。わずかな資源を巡って喧嘩の危険を冒すのはＡにとっても割りにあわないと解釈できます。

このように闘争のコストが増すか、資源の価値が低い場合にはＡがどんぐりの要求を思いとどまってＢがどんぐりを保持し、闘争のコストが小さかったり、資源の価値が高いときにはＡがどんぐりを要求してＢが譲ったり、喧嘩になったりしやすいといえるでしょう。弥生時代に入って資源の主体がどんぐりから稲に移ると、資源の価値があがり闘争が発生しやすくなると予想できます。実際、弥生時代になると武器によって負傷した人骨が発見される割合が増えるようです。

どんぐりを巡る攻防２

まずＢさんが価値４のどんぐりを蓄えているとしましょう。そこにＡさんが現れて、それを寄こすように要求する場面を考えることにします。縄文人っぽい名前にする手もあるのですが、どんな名前が縄文人っぽいのかよく分かりませんので、単にＡ、Ｂとしておきます。

Ａの戦略は「要求する」か「要求しない」かの二つです。「要求しない」と話はそこで終わりでＡの利得は０、Ｂの利得は４となります。これを（０、４）と書くことにします。

Ａが「要求する」とＢはどうするでしょうか。要求どおりどんぐりを渡してしまうかもしれませんし、拒否するかもしれません。あるいは半分渡す選択肢もあるかもしれませんが、簡単のためにＢの戦略は「受諾」と「拒否」の二つだとしましょう。Ｂが「受諾」するとどんぐりはＡに引き渡されますのでＡの利得は４、Ｂの利得は０となります。（４、０）と表記できます。

Ａが要求してＢが拒否すると事態は風雲急をつげてきます。寄こせ、寄こさんの押し問答の末Ａが攻撃をしかけるものとしましょう。Ｂも応戦して喧嘩になります。喧嘩の結末はケースバイケースでしょうけど、ざっくりいってある確率でＡが勝ってどんぐりを手にするでしょうし、またある確率でＢが勝ってどんぐりの防衛に成功するでしょう。ただしいずれが勝つにしても怪我のリスクを負うことになります。

ここでは一番簡単な場合としてどちらが勝つ確率も同じで1/2、どちらが勝つにしてもコスト１に相当するダメージを受けるものとしましょう。このとき、Ａは確率1/2で価値４のどんぐりを手に入れますので期待利得は４×1/2＝２ですが、１のダメージを受けるのでその分を差し引いて利得は２－１＝１となります。Ｂの利得も同様に４×1/2－１＝１なので、Ａが要求してＢが拒否したときの利得は（１、１）になると考えられます。

以上をゲームの木で表現すると

　　　　　　　　　要求　　　　拒否
　　　　　　Ａ　　→　　Ｂ　　→　　（１、１）　　
　　　非要求↓　　　受諾↓
　　　　　　（０、４）　　　（４、０）

となります。また、利得表で書くと

　　　Ａ　＼　Ｂ　｜　拒　否　　受　諾
　　－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　　　要　求　　｜　１、１　　４、０
　　　　非要求　　｜　０、４　　０、４

となります。ゲームの行方を考えてみると、Ａがどんぐりを要求したときにＢは受諾するより拒否したほうが得ですから、拒否すると考えられます。Ｂが拒否するとき、Ａは要求しないと利得０で要求すると利得１ですから、Ａは要求した方が得です。利得表をみるとＡが要求、Ｂが拒否の組み合わせがナッシュ均衡になっています。ナッシュ均衡というのは、その状態から自分だけ手を変えても利得が増えないような手の組み合わせで、Ａ要求、Ｂ拒否の組み合わせから手を変えてもどちらも利得は増えません。それどころかこの場合は手を変えると損をしてしまいます。手を変えると損をするような組み合わせを特に強いナッシュ均衡（strict Nash equilibrium）といいますが、この場合、Ａ要求、Ｂ拒否が実現しやすいといえるでしょう。

上で考えたケースではＡは常にどんぐりを要求してＢがそれを拒否し、かならずどんぐりをめぐる喧嘩が発生すると予想されます。

どんぐりを巡る攻防１

1万2千年前ごろ以降、氷河期が終わって気候が温暖化すると、日本列島に広葉樹の森が広がりました。その中でもクヌギ、コナラやカシといったブナ科の植物は秋になると沢山のどんぐりをつけ、これが縄文時代の人々に利用されるようになりました。縄文人の摂取カロリーの約６割がどんぐりからだったという試算もあり、主食といってもよい存在だったようです。

このどんぐり、タンニンという苦味成分を含んでいるのでそのままでは苦くて食べられません。長時間水につけて虫を殺すとともにタンニンを抜いて乾燥させた状態で保存し、食べるときには石皿とすり石で粉にして土器で煮て食べるというのが縄文の人たちの利用法だったようです。縄文時代の遺跡では竪穴住居の中や外にどんぐりを大量に蓄えた貯蔵穴があったり、谷筋に水にさらしてアク抜きしたと思われる施設が見つかったりしています。秋に大量に採取したどんぐりが特に冬から春にかけての主食になったのでしょう。

この大事などんぐりを誰かに取られてしまうということはなかったのでしょうか。事実として貯蔵穴が沢山見つかるということは、それほど頻繁に取られることはなかったことを示唆しています。しょっちゅう取られてしまうのであれば、苦労して山から集めてわざわざ穴を掘って貯蔵したりはしないでしょうから。

それでも自分ではどんぐりを集める労力をかけずに誰かから奪って済ませようという不心得者が現れる可能性はあるでしょう。あるいはどんぐりを年貢として徴収しようとする支配者が現れるかもしれません。弥生時代以降になって水田稲作が始まると、稲を徴収する支配者が現れるようになりますし、戦国時代には刈田狼藉といって他人の育てた稲を勝手に刈ってしまう行為も行われました。縄文時代にはそういったことはなかったのかもしれませんが、それならばそれはなぜなのかというところに興味がもたれます。以下では、どんぐりを巡る仮想的な争いの場面を考えてゲーム理論的に分析することを試みてみましょう。

貯蔵資源の所有権

定住生活を送るようになると家財道具が増え、ドングリの貯蔵や魚や肉の燻製の保存が行われるようになります。こうした貯蔵資源の所有権がどうなるのかというのはゲーム理論的には興味が持たれるところです。

竪穴住居内に貯蔵されているものであれば、とりあえず居住者のものといえるでしょうけど、貯蔵条件のいいところに共同で蓄えたケースもあるようで、そういう場合はどうなったのでしょう。収穫に参加しない人がフリーライドするという現象がおきそうです。

竪穴住居内に貯蔵した資源の拠出を求められる可能性もあります。現実にはあまりなかったかもしれませんが、それはなぜなのか、のちの年貢や納税の始まりと関連して興味がもたれるところです。

定住生活のはじまり

日本の歴史01 『縄文時代の生活誌』岡村道雄 2002 を講談社学術文庫で読んでいます。10年ぐらい前の少し古い本ですがなかなか面白いですね。

寒冷な旧石器時代の遊動生活から、1万2000年ほど前に温暖な時代になると定住生活がはじまります。移動のコストが節約できるので定住生活の方が楽かとは思いますが、大型動物の狩りが主体で、植物性食品の層が薄かった旧石器時代には植物性の食べ物が不足して獲物が移動してしまうと、移動するしかありません。

温暖になり植物性の食べ物が豊富になると定住が可能になります。定住するとドングリなどの堅果類を割って食べるための石器や煮炊きするための土器を作って家に置いておくことができるようになります。さらに堅果を貯蔵する穴も家の中に掘ることができて食料の不足期にも移動しないですごすことも可能になります。

西アジアで自生小麦を食べるために石臼などを装備したナトゥフィアン文化の人たちも、定住生活に入って始めて重い石の道具類を使うことができるようになり、道具の充実が定住生活を支える好循環をもたらしたようです。定住生活には定住生活を強化する作用があって、一度定住生活に入ると遊動生活には戻りにくいラチェット(歯止め)がかかると考えられます。

ただ、最初の定住はこうした道具類の支えなしに始まったはずですからよほど条件の良いところで始まると予想されますが、考古学的な資料によると氷期が終わって最初にコナラなどの広葉樹が成立しはじめた鹿児島県南部で最初の縄文遺跡が発見されているようです。海の幸の力もあって土器や大きな石器を装備した縄文文化がこのあたりで始まったようです。

また縄文

しばらく弥生時代の本を読んでたのですが、また縄文時代にさかのぼることにしました。いきつもどりつすることで理解が深まる部分もありますし、そもそも縄文時代は長いので簡単にひとくくりにできないんですよね。

［メモ］リーダーの進化

リーダーの進化については、これまで余り知られていない難しさがあるようですね。さっき計算したところでは、かなりケイオティックな挙動を示すようです。

メソn人モデル

ぼちぼちモデル作りを再開してます。今日はメソn人のレギュレーターモデルの枠組みをつくってました。

レギュレーター(調節者)はサンクションの供給によって協力行動の維持をはかるプレーヤーです。今回はメソn人モデルですから、レギュレーターに対してさらにサンクションを与える上位レギュレーターを考えてメソn人協力の持続可能性を考えることになります。

この枠組みにそってゲームの三要素、プレーヤー、戦略、利得を定式化して均衡なりダイナミクスなりを考える予定です。利得の定式化が結構面倒ですが、これをやらないと先へ進まないので、少しずつ考えていきましょう。

調整ゲームのダイナミクス３

まず「北口か南口かどちらにいこうか」を考える場合のモデルをつくることにしましょう。

比較の対象となる選択肢は「北口」と「南口」で、「会える」か「会えない」かが選択肢の持つ主な属性となります。過去の経験やその他の周辺情報から「北口」を思い浮かべたときに「会える」気がする確率をｐ、「会えない」気がする確率を１－ｐとしましょう。一方、「南口」を思い浮かべたときに「会える」気がする確率をｑ、「会えない」気がする確率を１－ｑとします。

このとき、確率ｐｑで「北口で会えて、南口で会えない」気がするのであなたは北口に向かうことになります。また、確率(１－ｐ)(１－ｑ)で「北口では会えなくて、南口で会える」気がするので、この場合は南口に向かうことになるでしょう。残りの場合は「どちらでも会えそうな気がする」か「どちらでも会えそうな気がしない」かいずれかになりますが、このときは迷ったあげく確率1/2で北口か南口かどちらかに向かうものとします。

このように考えると、あなたがたとえば北口に向かう確率は

　　ｐｑ＋1/2ｐ(１－ｑ)＋1/2(１－ｐ)ｑ
　＝1/2(ｐ＋１－ｑ)

ということになります。これをｘとおくことにしましょう。

同じように友人が北口に向かう確率を考えてこれをｙとすることにします。すると確率ｘｙであなたと友人は北口で会うことができて、めでたしめでたしとなるでしょう。このとき「北口で会える」という印象が強化されますから、「北口」を思い浮かべたときに「会える」気がする確率ｐが増加すると考えられます。

一方、確率ｘ(１－ｙ)であなたは北口、友人は南口にいってしまいすれ違いになります。このときは「北口で会えなかった」という印象が強化されますから、ｐは減ることになります。

同様に、確率(１－ｘ)ｙであなたは南口に行って友人とすれ違います。このときは「南口で会えなかった」という印象が強化されますから、ｑが減少します。最後に確率(１－ｘ)(１－ｙ)であなたと友人は南口で会うことができますので、このときは「南口」で「会える気がする」確率ｑが増えることのなるでしょう。

ここでｘが増えるのはｐが増えるときかｑが減るときですので、待ち合わせを１回したときにｘが増える確率は

　　ｘｙ＋(１－ｘ)ｙ＝ｙ

となります。逆にｘが減るのはｐが減るかｑが増えるときですのでｘが減る確率は

　　ｘ(１－ｙ)＋(１－ｘ)(１－ｙ)＝１－ｙ

となります（まあ、単に１から引いた方がはやいですが）。

ここで、もしｙ＞１－ｙ、つまり

　　　ｙ＞1/2

ならｘが増える確率の方が大きいのでｘが増えやすい状況と考えられます。逆に

　　　ｙ＜1/2

なら今度はｘが減りやすい状況ということになります。

友人も同じ方法で行き先を選んでいるものとするとｘ＞1/2のときはｙが増えやすい状況、ｘ＜1/2のときはｙが減りやすい状況ということになるでしょう。

以上の結果を図示すると次のようになります。

　　ｙ
　１｜
　　｜　ｘ増　　ｘ増
　　｜　ｙ減　　ｙ増
1/2
　　｜　ｘ減　　ｘ減
　　｜　ｙ減　　ｙ増
　　＋－－－－－－－－ｘ
　　　　　　1/2　　　１

これは、ｘ＝１、ｙ＝１に収束するかｘ＝０、ｙ＝０に収束するかいずれかの結末にいたることダイナミクスになっています。ｘ＝１、ｙ＝１はあなたも友人も必ず北口にいくことを意味していますし、ｘ＝０、ｙ＝０はどちらも必ず南口に行くことを意味しています。このように、待ち合わせゲームを何回か繰り返すと、北口か南口かどちらかが「いつもの場所」となって特に打ち合わせをしなくてもいつも友人に出会えるようになると予想できます。慣習というものの成立メカニズムと考えることができるでしょう。

以上のように、確率的意思決定モデルをベースにして調整ゲームの試行錯誤型のダイナミクスを導くことができました。通常のゲーム理論や進化ゲーム理論でも同様の結論になりますので、とりあえずそれほどおかしくないモデルができたといえるでしょう。もちろん、いつも従来のモデルと同じ結果になるのであれば新しいモデルを立てる必要はないのですが、たとえば囚人のジレンマゲームについて分析してみますと多少従来のモデルとは違った結果になってきたりもします。その辺はまたおいおい書いていくことにしましょう。

とりあえず、今日はこの辺で。続きは旅行から帰ってきてからになります。

調整ゲームのダイナミクス２

確率的意思決定モデルは、それぞれの選択肢によい属性や悪い属性などのいくつかの属性があり、いずれかの属性が確率的に意識に上ることによって意思決定がなされると考えるモデルでした。以下では待ち合わせゲームを例にとって、この場合の意思決定をモデル化していくことにしましょう。

友人と駅の北口と南口のいずれかで待ち合わせする場合を考えることにします。折悪しく携帯電話は圏外かバッテリー切れか、あるいはミノフスキー粒子の影響かによって使えません。このときあなたは北口か南口か、どちらに向かうでしょうか。

友人が北口に向かった場合には、北口に行くと友人に会えますが、南口に行くと会えません。友人が南口に向かった場合には、南口に行くと会えますが、北口に行くと会えません。この状況を一覧表にすると次のようになります。

　自分＼友人｜　北口　　　南口
　－－－－－－－－－－－－－－－－
　　　　北口　｜会える　　会えない
　　　　南口　｜会えない　会える

ここであなたは「さて、どちらにいったものか」と考えるかもしれませんし、「あいつはどちらにいくだろう」と考えるかもしれません。前者は直接どちらの戦略を採るかを考える思考方法ですし、後者は相手の採るであろう戦略から間接的に自分の採るべき戦略を考える思考方法です。前者は学習ダイナミクスのうち、試行錯誤ダイナミクスに相当しますし、後者は最適反応ダイナミクスに相当する考え方になります。実際の意思決定ではどちらの考え方も使われると思われますので、両方の場合についてモデルを立てていくことにしましょう。